Question

18．設函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），函數g（x）=-x²+bx+c，且f（4）-f（2）=1，g（x）的圖象過點A（4，-5）及B（-2，-5）．
（1）求f（x）和g（x）的表達式；
（2）求函數f[g（x）]的定義域和值域．

Answer 1

分析 （1）運用條件得出方程求解即可
（2）轉化為不等式-x²+2x+3＞0求解得出定義域，配方-x²+2x+3=-（x²-1）²+4≤4
利用單調性求解即可．

解答 解：（1）∵函數f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
f（4）-f（2）=1，
∴l(xiāng)og_a$\frac{4}{2}$=1，a=2，
∴f（x）=log₂x，
∵g（x）的圖象過點A（4，-5）及B（-2，-5）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}=1}\\{-16+4b+c=-5}\end{array}\right.$即b=2，c=3，
∴函數g（x）=-x²+2x+3；
（2）函數f[g（x）]=log₂（-x²+2x+3），
∵-x²+2x+3＞0，
∴-1＜x＜3，
定義域：（-1，3），
∵-x²+2x+3=-（x²-1）²+4≤4，
∴l(xiāng)og₂（-x²+2x+3）≤log₂4=2，
即值域為：（-∞，2]．

點評 本題考察函數的定義，性質，轉化為不等式問題，配方思想，屬于簡單的綜合題目．