Question

設(shè)二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n∈N）有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）求證：數(shù)列{}是等比數(shù)列；
（3）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）由韋達(dá)定理得：，，
由6α-2αβ+6β=3得6-=3，
故．
（2）證明：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4861.png' />=a_n-=（），
所以，
故數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；
（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列{}的首項(xiàng)，
故==，
于是．a(chǎn)_n=．
分析：（1）直接利用韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得．
（2）對(duì)（1）的結(jié)論兩邊同時(shí)減去整理即可證：數(shù)列{}是等比數(shù)列；
（3）先利用（2）求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系以及韋達(dá)定理和等比數(shù)列知識(shí)的綜合考查．本題雖然問比較多，但每一問都比較基礎(chǔ)，屬于中檔題．