Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f²（n）-f（n），n∈N^*，若其前n項和為-$\frac{35}{16}$，則n的值為（　�。�

• A． 16
• B． 17
• C． 18
• D． 19

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，移項后平方，a_n=f²（n）-f（n），n∈N^*，可得a_n+1+a_n=$-\frac{1}{4}$，令x=0，可得f（1）=$\frac{1}{2}$，可得偶數(shù)項的值為0．從而可得前n項和為-$\frac{35}{16}$，時n的值．

解答 解：∵f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，
∴f（x+1）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$，
兩邊平方，得[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]²=f（x）-f²（x）
化簡得[f²（x+1）-f（x+1）+$\frac{1}{4}$]=-[f²（x）-f（x）]
∵a_n=f²（n）-f（n），可得a_n+1=f²（n+1）-f（n+1），
∴a_n+1+a_n=[f²（n+1）-f（n+1）]+[f²（n）-f（n）]=-$\frac{1}{4}$，
∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，
令x=0，可得f（1）=$\frac{1}{2}$
那么：a₁=f²（1）-f（1）=-$\frac{1}{4}$．
∵a_n+1+a_n=$-\frac{1}{4}$，即偶數(shù)項的值為0．
∵數(shù)列前n項和為-$\frac{35}{16}$=$-2-\frac{3}{16}$
∴S₁₆=-2，S₁₈=-2.25．
滿足題意n的值為17．
故選B

點評 本題主要考查數(shù)列和函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．