Question

已知函數(shù)f（x）=-2x²-2x-1，請(qǐng)問是否存在正整數(shù)t，使得x∈[-1，1]時(shí)f（x）≤t恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=-2x²-2x-1=-2(x+

1

2

)2-

1

2

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得：x∈[-1，1]，f（x）的最大值．
由于x∈[-1，1]時(shí)f（x）≤t恒成立?t≥[f（x）]_max，x∈[-1，1]．

解答： 解：函數(shù)f（x）=-2x²-2x-1=-2(x+

1

2

)2-

1

2

，
∵x∈[-1，1]，∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，f（x）取得最大值-

1

2

．
∵x∈[-1，1]時(shí)f（x）≤t恒成立．
∴t≥-

1

2

．
∴只要取t≥1，t∈N，x∈[-1，1]時(shí)f（x）≤t恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，屬于基礎(chǔ)題．