Question

1．已知函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，且y=f（x-2）的圖象關(guān)于點（2，0）成中心對稱．若u，v滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}f（u）+f（v-1）≤0\\ f（u-v-1）≥0\end{array}\right.$，則u²+v²的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式組進(jìn)行化簡，利用線性規(guī)劃的知識進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵y=f（x-2）的圖象關(guān)于點（2，0）成中心對稱．
∴y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，0）成中心對稱．
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則不等式組$\left\{\begin{array}{l}f（u）+f（v-1）≤0\\ f（u-v-1）≥0\end{array}\right.$，等價為$\left\{\begin{array}{l}{f（u）≤-f（v-1）=f（1-v）}\\{u-v-1≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{u≥1-v}\\{u-v-1≤0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
則u²+v²的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方，
則由圖象知原點到直線u=1-v，即v+u-1=0的距離最小，
此時d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故u²+v²的最小值為d²=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以及點到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．