Question

12．某化工企業(yè)計劃2015年底投入64萬元，購入一套污水處理設備．該設備每年的運轉費用是1.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．
（1）設該企業(yè)使用該設備x年的年平均污水處理費用為y（萬元），求y=f（x）的解析式；
（2）為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低，問該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設備？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x年的總費用除以年數(shù)x可得到年平均污水處理費用，可得到關系式．
（2）將關系式化簡為y=x+$\frac{64}{x}$+2.5（x＞0），根據(jù)均值不等式可求出年平均費用的最低值和對應的年數(shù)．

解答 解：（1）由題意可知，年平均污水處理費用為：y=$\frac{64+1.5x+（2+4+6+…+2x）}{x}$=$\frac{{x}^{2}+2.5x+64}{x}$（x＞0）；
（2）由均值不等式得：y=x+$\frac{64}{x}$+2.5≥2$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$+2.5=18.5（萬元）
當且僅當x=$\frac{64}{x}$，即x=8時取到等號
所以該企業(yè)8年后需要重新更換新設備，平均最低費用是18.5（萬元）．

點評 本題主要考查均值不等式的應用．考查對基礎知識的理解和認識．屬中檔題．