Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f(x)=-f(x+

3

2

)，f(-1)=1，f(0)=-2，且y=f(x-

3

4

)是奇函數(shù)，則f（1）+f（2）+…+f（2009）=

 

．

Answer 1

分析：由f(x)=-f(x+

3

2

)，函數(shù)f（x）為周期為3的周期函數(shù)，又由y=f(x-

3

4

)是奇函數(shù)，則函數(shù)f（-x）=-f(x+

3

2

)=f（x），又由f（-1）=1，f（0）=-2我們易得f（1）=1，根據(jù)周期性我們易求f（1）+f（2）+…+f（2009）的值．

解答：解：∵f(x)=-f(x+

3

2

)?f(x+3)=f(x)?f(2)=f(-1)=1，f(3)=f(0)=-2
又∵y=f(x-

3

4

)是奇函數(shù)
?f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)?f(-x)=-f(x-

3

2

)
∴f(

1

2

)=-f(-2)=-f(1)，
而f(

1

2

)=-f(2)=-1，
∴f（1）=1
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=
f（1）+f（2）=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，則函數(shù)一定為周期函數(shù)且T=2|a-b|．