Question

4．若函數(shù)f（x）=$\frac{2\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+（x+2）^{2}-4co{s}^{2}x}{{x}^{2}+2}$的值域為[m，n]，則m+n=2．

Answer 1

分析 由f（x）化簡整理可得1+$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，設g（x）=$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，定義域為R，判斷為奇函數(shù)，即有最值之和為0，可得m+n=2．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{2\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+（x+2）^{2}-4co{s}^{2}x}{{x}^{2}+2}$
=$\frac{2\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x+\frac{\sqrt{2}}{2}cos2x）-2（1+cos2x）+（x+2）^{2}}{{x}^{2}+2}$
=$\frac{2sin2x-2+{x}^{2}+4x+4}{{x}^{2}+2}$=1+$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，
設g（x）=$\frac{4x+2sin2x}{{x}^{2}+2}$，定義域為R，
g（-x）=$\frac{-4x-2sin2x}{{x}^{2}+2}$=-g（x），
則g（x）為R上的奇函數(shù)，
由題意f（x）的值域為[m，n}，
即有g（x）=f（x）-1的值域為[m-1，n-1]，
由奇函數(shù)的性質可得m-1+n-1=0，
即m+n=2．
故答案為：2．

點評 本題考查函數(shù)的值域問題，考查函數(shù)的奇偶性的運用，注意運用奇函數(shù)在R上的最值之和為0，考查運算能力，屬于中檔題．