Question

設Q、G分別為△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．
（1）求點C的軌跡E．
（2）軌跡E與y軸兩個交點分別為A₁，A₂（A₁位于A₂下方）．動點M、N均在軌跡E上，且滿足A₁M⊥A₁N，試問直線A₁N和A₂M交點P是否恒在某條定直線l上？若是，試求出l的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設C（x，y），由A（-1，0），B（1，0），知，由Q是外心，且QG∥AB，能求出點C的軌跡E．
（2）由，設A₁N的方程為，由A₁N⊥A₁M，知A₁M的方程為，
代入方程得（3+k²）x²+2kx=0，由此能夠推導出點P在定直線上．
解答：解：（1）設C（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴…（2分）
又∵Q是外心，且QG∥AB
∴…（2分）
∵|QA|=|QC|
∴，
即…（7分）
（2）由（1）可知，
設A₁N的方程為，∵A₁N⊥A₁M
∴A₁M的方程為，
代入方程得：（3+k²）x²+2kx=0，…（8分）
解得，…（10分）
代入方程
可得…（11分）
∴，
∴A₂M的方程為…（13分）
∴由
∴點P在定直線上．…（15分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．