Question

（本小題滿分14分）已知橢圓C：，其相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知過點(diǎn)傾斜角為的直線分別交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，

求證：；

（Ⅲ）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A、B和D、E，

求的最小值。

Answer 1

 本題主要考查直線的方程、橢圓的方程和性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識。考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算能力和綜合解題能力。

解：（Ⅰ）由題意得：，∴，∴橢圓C的方程為。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是橢圓C的左焦點(diǎn)，離心率，

設(shè)是橢圓的左準(zhǔn)線，則：

作于，于，于軸交于點(diǎn)H（如圖），

∵點(diǎn)A在橢圓上，

∴==

∴，同理

∴。

方法二：當(dāng)時，記。則AB：

將其代入方程得

設(shè)，則是此二次方程的兩個根。

∴，

        ①

∵，代入①式得。        ②

當(dāng)時，仍滿足②式。

∴。

（Ⅲ）設(shè)直線AB傾斜角為，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得

，

當(dāng)或時，取得最小值。