Question

設(shè)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線漸近線方程為y=±

3

3

x，且焦距為4，已知點(diǎn)A（1，

1

2

）
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)A（1，

1

2

），過(guò)點(diǎn)A的直線L交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn)，求直線L方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線漸近線方程為y=±

3

3

x，且焦距為4，求出幾何量，即可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點(diǎn)差法，求出直線的斜率，即可求直線L方程．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），則
∵雙曲線漸近線方程為y=±

3

3

x，且焦距為4，
∴

a

b

=

3

3

，c=2
∵c²=a²+b²
∴a=1，b=

3

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2-

x2

3

=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入雙曲線方程可得y12-

x12

3

=1，y22-

x22

3

=1
兩式相減，結(jié)合點(diǎn)A（1，

1

2

）為線段MN的中點(diǎn)，可得y1-y2-

2(x1-x2)

3

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

2

3

∴直線L方程為y-

1

2

=

2

3

(x-1)，即4x-6y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．