Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x² （a為實常數(shù)）．

（1）當a=﹣4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數(shù)；

（3）若 a＞0，且對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f（x₁）﹣f（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個數(shù)判斷；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．

專題：

導數(shù)的綜合應用．

分析：

（1）當a=﹣4時，利用導數(shù)的運算法則可得，在區(qū)間（0，+∞）上分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出單調(diào)區(qū)間；

（2）當x=1時，方程f（x）=0無解．

當x≠1時，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價于方程 （x∈（1，e]）．

設g（x）=，則．分別解出g′（x）＞0與g′（x）＜0即可得出單調(diào)性，

又g（e）=e²，，作出y=g（x）與直線y=﹣a的圖象，由圖象可知a的范圍與方程根的關(guān)系；

（3）若a＞0時，f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)．

不妨設1≤x₁≤x₂≤e，則等價于．

即，即函數(shù)在x∈[1，e]時是減函數(shù)．

可得，即在x∈[1，e]時恒成立．再利用在x∈[1，e]時是減函數(shù)，即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答：

解：（1）當a=﹣4時，，

當時，f'（x）＜0；當時，f'（x）＞0．

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）當x=1時，方程f（x）=0無解．

當x≠1時，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價于方程 （x∈（1，e]）．

設g（x）=，則．

當時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，

當時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增．

又g（e）=e²，，作出y=g（x）與直線y=﹣a的圖象，由圖象知：

當2e＜﹣a≤e²時，即﹣e²≤a＜﹣2e時，方程f（x）=0有2個相異的根；

當a＜﹣e²或a=﹣2e時，方程f（x）=0有1個根；               

當a＞﹣2e時，方程f（x）=0有0個根．

（3）若a＞0時，f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)．

不妨設1≤x₁≤x₂≤e，

則等價于．

即，

即函數(shù)在x∈[1，e]時是減函數(shù)．

∴，即在x∈[1，e]時恒成立．

∵在x∈[1，e]時是減函數(shù)，∴．

所以，實數(shù)a的取值范圍是．

點評：

本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等價轉(zhuǎn)化、適當變形等基礎知識與基本技能，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力和計算能力．