Question

12．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點F是其右焦點，點A是其左頂點，且|AF|=3．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點F作不與x軸重合的直線交橢圓E于兩點B、C，直線AB、AC分別交直線l：x=4于點M、N．試問：在x軸上是否存在定點Q，使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$？若存在，求出定點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列關于a，b，c的方程組，求解方程組得a，b，c的值，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）設出BC所在直線方程x=ty+1，與橢圓方程聯(lián)立，把AB，AC的方程用含有A，B的坐標表示，再由$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$求解．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a+c=3}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）依題意，直線BC的斜率不為0，設其方程為x=ty+1．
將其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，整理得（4+3t²）y²+6ty-9=0．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-$\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{t}^{2}}$．
直線AB的方程是y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），從而可得M（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
同理可得N（4，$\frac{6{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$）．
假設x軸上存在定點Q（q，0）使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$．
∴$（q-4）^{2}+\frac{36{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$=0．
將x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1代入上式，整理得（q-4）²-9=0，
解得q=1，或q=7．
∴x軸上存在定點Q（1，0）或Q（7，0），使得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=0$成立．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線和圓錐曲線位置關系的應用，訓練了平面向量數(shù)量積在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．