Question

如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB=，AD=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

(I)求三棱錐E—PAD的體積；

(II)試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在BC的何處時(shí)，有EF//平面PAC；

(1lI)證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEAF．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的長(zhǎng)即為三棱錐的高，而三棱錐的體積等于的體積，計(jì)算即得.

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行．

利用三角形中位線定理，得到，進(jìn)一步得出∥平面．

（Ⅲ）證明：根據(jù)等腰三角形得出，根據(jù)平面，平面，

得到 ，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031504115056457890/SYS201403150413350801612892_DA.files/image015.png"> 且，⊂平面，得到平面，又平面，．

再根據(jù)，平面，及平面，根據(jù)，作出結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的長(zhǎng)即為三棱錐的高，三棱錐的體積等于的體積

= = ．

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行．

∵在中，分別為的中點(diǎn)，連結(jié)

，又平面，而平面，

∴∥平面．

（Ⅲ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031504115056457890/SYS201403150413350801612892_DA.files/image037.png">，所以等腰三角形中，

∵平面，平面，

∴ 

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031504115056457890/SYS201403150413350801612892_DA.files/image015.png"> 且，⊂平面，

∴平面，又平面，

∴．

又∵，

∴平面．PB，BE⊂平面PBE，

∵平面，

∴，即無(wú)論點(diǎn)E在邊的何處，都有．

考點(diǎn)：幾何體的體積，垂直關(guān)系，平行關(guān)系.