Question

 

已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1。

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn),,求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡表示什么曲線。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為，由已知得

，     ---------------2分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為        ---------------4分

（Ⅱ）設(shè)，其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得

。

整理得，其中。---------------8分

（i）時(shí)�；�簡(jiǎn)得    

所以點(diǎn)的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段。---------------10分

（ii）時(shí)，方程變形為，其中

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足

的部分。---------------13分

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓

---------------16分

說(shuō)明：沒(méi)有考慮的至少要扣5分