Question

橢圓以雙曲線的實(shí)軸為短軸、虛軸為長(zhǎng)軸，且與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程及線段的長(zhǎng)；

（2）在與圖像的公共區(qū)域內(nèi)，是否存在一點(diǎn)，使得的弦與的弦相互垂直平分于點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1） ，；（2）不存在這樣的點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1） 求橢圓的方程，只需求出即可，由雙曲線得，，故得橢圓，從而得橢圓的方程為，求線段的長(zhǎng)，只需求出的坐標(biāo)，由橢圓的方程，及拋物線的方程，聯(lián)立方程組解得，從而可得線段的長(zhǎng)；（2）這是探索性命題，一般假設(shè)存在，可設(shè)出，代入橢圓的方程，兩式作差，得，設(shè)出，代入拋物線，兩式作差，得，的弦與的弦相互垂直得，，從而得到，由題設(shè)條件，來(lái)判斷點(diǎn)是否存．

試題解析：（1）橢圓：；聯(lián)立方程組解得，所以.

（2）假設(shè)存在，由題意將坐標(biāo)帶入做差得，將坐標(biāo)帶入得，，故滿足條件的點(diǎn)在拋物線外，所以不存在這樣的點(diǎn).

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與二次曲線位置關(guān)系．