Question

19．已知a∈R，函數(shù)f（x）=4^x-（2^a+2）•2^x+2^a+1．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0；
（2）若f（x）＞$\frac{2-{2}^{x}}{{2}^{x}}$對任意x∈（1，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元，把函數(shù)轉(zhuǎn)換為f（t）=t²-（2^a+2）t+2^a+1=（t-2）（t-2^a），利用二次函數(shù)進行分類求解；
（2）換元，不等式整理為2^a＜t+$\frac{1}{t}$，把恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題，進而求出a的范圍．

解答 解：（1）令t=2^x
∴f（t）=t²-（2^a+2）t+2^a+1
=（t-2）（t-2^a）
當(dāng)a=1時，f（t）＜0無解；
當(dāng)a＜1時，2^a＜t＜2，即 2^a＜2^x＜2
∴a＜x＜1
當(dāng)a＞1時，2^a＞t＞2，即 2^a＞2^x＞2，
∴1＜x＜a；
（2）令t=2^x，t∈（2，+∞）
∴（t-2）（t-2^a）＞$\frac{2-t}{t}$
∴2^a＜t+$\frac{1}{t}$
∵t+$\frac{1}{t}$＞$\frac{5}{2}$，
∴2^a＜$\frac{5}{2}$，
∴a＜log₂$\frac{5}{2}$．

點評 考查了換元法，二次不等式的求解和恒成立問題．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．