Question

用總長(zhǎng)為14.8米的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制的容器的底面的長(zhǎng)比寬多0.5米，那么高為多少時(shí)容器的容器最大？并求出它的最大容積．

 

Answer 1

容器高為1.2m時(shí)容器的容積最大，最大容積為1.8m3.

【解析】

試題分析：令容器底面寬為m, 則長(zhǎng)為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m，由實(shí)際意義可得0<x<1.6，由長(zhǎng)方體體積寫(xiě)出容積的表達(dá)式,求導(dǎo)得，進(jìn)而求得0<x<1時(shí)，；1<x<1.6時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)有最大值，求之得最大容積．

 

【解析】
設(shè)容器底面寬為x m，則長(zhǎng)為(x＋0.5)m，高為(3.2－2x)m，

由解得0<x<1.6， 3分

設(shè)容器的容積為y，

則有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝ 6分

,

令＝0，即,

解得x＝1，或x＝ (舍去)． 8分

∵0<x<1時(shí)，；1<x<1.6時(shí)，，

∴在定義域(0,1.6)內(nèi)x＝1是唯一的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值為1.8， 10分

此時(shí)容器的高為3.2－2＝1.2m，

因此，容器高為1.2m時(shí)容器的容積最大，最大容積為1.8． 12分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)的應(yīng)用.