Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ）求過原點且與函數(shù)f（x）的圖象相切的直線方程；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）lnx-m，討論函數(shù)g（x）在區(qū)間[

1

e

，e²]上零點的個數(shù)；
（Ⅲ）記F_n（x）=

ln2(nx)

n3

，S_n（x）=F₁（x）+F₂（x）+…+F_n（x），n∈N^*．若對任意正整數(shù)P，|S_n+p（x）-S_n（x）|＜

4

n

對任意x∈D恒成立，則稱S_n（x）在x∈D上是“高效”的．試判斷S_n（x）是否是x∈[e，e²]上是“高效”的？若是，請給出證明，若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=

1-lnx

x2

，再求出切線方程為y-y₀=

1-lnx0

x02

（x-x₀），從而

lnx0

x0

=

1-lnx0

x02

x₀，進而x₀=

e

；
（Ⅱ）令g（x）=0，得m=f（x）lnx，令h（x）=f（x）lnx，得h（x）在[

1

e

，1），（e²，+∞）遞減，在（1，e²）遞增，討論m＜0，或m＞e時，m=0或

4

e2

＜m≤e時0＜m≤

4

e2

時的情況，進而求出零點的個數(shù)；
（Ⅲ）x∈[e，e²]時，ln²[（n+p）x]≤4（n+p），而對|s_n+p（x）-s_n（x）|＜4[

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+…+

1

(n+p-1)(n+p)

]＜

4

n

，綜上，s_n（x）在區(qū)間[e，e²]上是“高效”的．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1-lnx

x2

，
設(shè)切點為（x₀，y₀），則切線斜率為

1-lnx0

x02

，
∴切線方程為y-y₀=

1-lnx0

x02

（x-x₀），
又∵原點在切線上，
∴

lnx0

x0

=

1-lnx0

x02

x₀，
∴x₀=

e

；
（Ⅱ）令g（x）=0，得m=f（x）lnx，
令h（x）=f（x）lnx，
∴h′（x）=

2lnx-ln2x

x2

，（

1

e

≤x≤e²），
令h′（x）＞0，解得：1＜x＜e²，
令h′（x）＜0，解得：

1

e

＜x＜1，x＞e²，
∴h（x）在[

1

e

，1），（e²，+∞）遞減，在（1，e²）遞增，
又h（1）=0，h（

1

e

）=e＞h（e²）=

4

e2

，
故m＜0，或m＞e時，g（x）沒有零點，
m=0或

4

e2

＜m≤e時，g（x）有一個零點，
0＜m≤

4

e2

時，g（x）有兩個零點．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x＞1時，ln²[（n+p）x]≤

4

e2

（n+p）x成立，
又n，p∈N^*，∴x＞1時，ln²[（n+p）x]≤

4

e2

（n+p）x成立，
又當(dāng)x∈[e，e²]時，

4

e2

（n+p）x≤4（n+p），
故當(dāng)x∈[e，e²]時，ln²[（n+p）x]≤4（n+p），
而對|s_n+p（x）-s_n（x）|=

ln2[(n+1)x]

(n+1)3

+

ln2[(n+2)x]

(n+2)3

+…+

ln2[(n+p)x]

(n+p)3

≤

4(n+1)

(n+1)3

+

4(n+2)

(n+2)3

+…+

4(n+p)

(n+p)3

=4[

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

+…+

1

(n+p)2

]
＜4[

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+…+

1

(n+p-1)(n+p)

]
=4（

1

n

-

1

n+p

）＜

4

n

，
綜上，s_n（x）在區(qū)間[e，e²]上是“高效”的．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，函數(shù)的零點問題，新概念問題，切線方程問題，是的綜合題．