Question

5．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x^2}$）ⁿ（n∈N^*）的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1．
（1）求n的值和展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中含${x}^{\frac{3}{2}}$的項(xiàng)和展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．

Answer 1

分析 （1）寫出二項(xiàng)展開式的第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的系數(shù)，由系數(shù)比求得n值，進(jìn)一步求得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由x得指數(shù)等于$\frac{3}{2}$求得r值，得到展開式中含${x}^{\frac{3}{2}}$的項(xiàng)，在二項(xiàng)式中取x=1得到展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．

解答 解：依題意，第五項(xiàng)系數(shù)為${C}_{n}^{4}•（-2）^{4}$，第三項(xiàng)系數(shù)為${C}_{n}^{2}•（-2）^{2}$．
（1）由$\frac{{C}_{n}^{4}•（-2）^{4}}{{C}_{n}^{2}•（-2）^{2}}=\frac{10}{1}$，得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍），
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x^2}$）⁸的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)為${C}_{8}^{4}（\sqrt{x}）^{4}•（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{4}={2}^{4}{C}_{8}^{4}{x}^{-6}=1120{x}^{-6}$；
（2）∵${T}_{r+1}={C}_{8}^{r}（\sqrt{x}）^{8-r}•（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}$=${C}_{8}^{r}（-2）^{r}{x}^{4-\frac{5r}{2}}$．
令$4-\frac{5r}{2}=\frac{3}{2}$，得r=1，
∴${T}_{2}={C}_{8}^{1}（-2）^{1}{x}^{\frac{3}{2}}=-16{x}^{\frac{3}{2}}$．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x^2}$）⁸ =${C}_{8}^{0}（\sqrt{x}）^{8}+{C}_{8}^{1}（\sqrt{x}）^{7}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{1}+…+$${C}_{8}^{8}（\sqrt{x}）^{0}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{8}$，
令x=1，則各項(xiàng)系數(shù)之和為（1-2）⁸=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是中檔題．