Question

已知點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上y²=x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦MA，MB分別交x軸于C，D兩點(diǎn)，若MC=MD且∠AMB=90°，求△AMB的重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：三角形的重心的坐標(biāo)與三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間有一個(gè)固定的關(guān)系即

x= xM+xA+xB 3 y= yM+yA+yB 3

，故可以引入?yún)��?shù)，求出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用此公式得到重心G的坐標(biāo)的參數(shù)表達(dá)式，再消參數(shù)得到重心G的軌跡方程．

解答：解：設(shè)M（y₀²，y₀），∵∠AMB=90°，∴∠MCD=45°，∴k=1，∴直線(xiàn)MA的方程為y-y₀=x-y₀².由

y-y0=x- y 2 0 y2=x

，得A((1-y0)2，1-y0)．
同理可得B（（1+y₀）²，-（1+y₀））．
設(shè)重心G（x，y），則有

x= xM+xA+xB 3 = y 2 0 +(1-y0)2+(1+y0)2 3 = 2+3 y 2 0 3 y= yM+yA+yB 3 = y   0 +(1-y0)-(1+y0)  3 =- y   0 3

消去參數(shù)y0得y2=

1

9

x-

2

27

(x＞

2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是圓錐曲線(xiàn)軌跡問(wèn)題，考查綜合利用圓錐曲線(xiàn)的方程與三角形的重心坐標(biāo)公式求軌跡方程的能力，解決本題的關(guān)鍵是掌握重心的坐標(biāo)公式，由此公式的形式聯(lián)想到應(yīng)該引入?yún)��?shù)求三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．解答綜合題時(shí)找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)對(duì)做題很關(guān)鍵．