Question

．（本小題滿(mǎn)分16分）

已知橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為，且右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于短半軸的長(zhǎng)．（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線(xiàn)與軸相交于定點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的取值

范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）由題意知， 解得，

故橢圓的方程為．                 …………………………4分

（2）由題意知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為．

由  得．   ①

設(shè)點(diǎn)，，則．

直線(xiàn)的方程為．

令，得．

將，代入，

整理，得．    ②

由①得 ，代入②

整理，得．

所以直線(xiàn)與軸相交于定點(diǎn)．             …………………………10分

（3）當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，，．

由  得．  

∴，， ．

則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052502452104687586/SYS201205250246505312642065_DA.files/image036.png">，所以．

所以．

當(dāng)過(guò)點(diǎn)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，其方程為．

解得，．

此時(shí)．

所以的取值范圍是．              …………………………16分

 

【解析】略