Question

1．已知各項都不相等的等差數(shù)列{a_n}的前六項和為60，且a₆為a₁和a₂₁的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=n（n+2），求數(shù)列{$\frac{1}{b_n}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列{a_n}的前六項和為60，且a₆為a₁和a₂₁的等比中項列出方程組，求出數(shù)列首項與公差，即可求解數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．
（2）數(shù)列{$\frac{1}{b_n}$}的通項公式，然后利用裂項求和求解前n項和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則6a₁+15d=60，a₁（a₁+20d）=（a₁+5d）²，
解得d=2，a₁=5．
∴a_n=2n+3，
S_n=$\frac{n（5+2n+3）}{2}$=n（n+4）．
（2）b_n=n（n+2）（n∈N₊）．
∴$\frac{1}{bn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）．
T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3n2+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查數(shù)列求和，裂項消項法的應(yīng)用，等差數(shù)列的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．