Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無窮數(shù)列、滿足．

（Ⅰ）當(dāng)數(shù)列是常數(shù)列（各項(xiàng)都相等的數(shù)列），且時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)、都是公差不為0的等差數(shù)列，求證：數(shù)列有無窮多個(gè)，而數(shù)列惟一確定；

（Ⅲ）設(shè)，，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由是常數(shù)列，得，進(jìn)而探求數(shù)列項(xiàng)間的關(guān)系；（Ⅱ）將等差數(shù)列、　的通項(xiàng)公式代入，根據(jù)等式恒成立，求首項(xiàng)和公差；（Ⅲ）利用題中所給關(guān)系式對(duì)進(jìn)行適當(dāng)放縮，求出上界和下界.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列是常數(shù)列，且，所以①，因此②，①-②得，，這說明數(shù)列的序號(hào)為奇數(shù)的項(xiàng)及序號(hào)為偶數(shù)的項(xiàng)均按原順序組成公差為2的等差數(shù)列，又，，所以，因此，，即.

（Ⅱ）設(shè)、都是公差分別為，將其通項(xiàng)公式代入得，因?yàn)樗�是恒等式，所�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101002753775733/SYS201310010101152173949898_DA.files/image017.png">，解得，因此.

由于可以取無窮多非零的實(shí)數(shù)，故數(shù)列有無窮多個(gè)，而數(shù)列惟一確定；

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101002753775733/SYS201310010101152173949898_DA.files/image021.png">，且，所以，即，所以，得，因此.

又由得，，而，所以，因此

，所以，所以.

考點(diǎn)：等差數(shù)列、數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列與不等式.