Question

3．如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC′F所截而得到的，其中AB=BC=CC′=3，BE=1．
（Ⅰ）求證：四邊形AEC′F是平行四邊形；
（Ⅱ）求幾何體ABCDEC′F的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據面面平行的性質定理得出AE∥C′F，AF∥C′E，故四邊形AEC′F是平行四邊形；
（Ⅱ）將幾何體補成正方體，則幾何體的體積為正方體體積的一半．

解答 證明：（Ⅰ）∵平面ABE∥平面DCC′F，平面AEC′F∩平面ABE=AE，平面AEC′F∩平面DCC′F=C′F，
∴AE∥C′F，
同理可得AF∥C′E，
∴四邊形AEC′F是平行四邊形．
（Ⅱ）將幾何體補成棱長為3的正方體，
∴幾何體ABCDEC'F的體積V=$\frac{1}{2}$V_正方體=$\frac{1}{2}$×3³=$\frac{27}{2}$．

點評 本題考查了面面平行的性質，幾何體的體積計算，屬于中檔題．