Question

15．若a、b、x、y∈R⁺，且a+b=1，證明：ax²+by²≥（ax+by）²．

Answer 1

分析 將所證的關(guān)系式作差（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x-y）²≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立．

解答 證明：（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy，
因?yàn)閍+b=1，
所以a-1=-b，b-1=-a，
又a，b均為正數(shù)，
所以a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x²+y²-2xy）=-ab（x-y）²≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立．
所以ax²+by²≥（ax+by）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，著重考查作差法的應(yīng)用，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與邏輯推理能力，屬于中檔題．