Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）的值；
（2）若f（$\frac{1}{3}$）=-1，求滿足f（x）-f（$\frac{1}{x-2}$）≥2的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)條件f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1代入即可求出f（1）的值；
（2）先根據(jù)f（$\frac{1}{3}$）=-1得出f（3）=1，從而f（9）=2，因此，原不等式等價為：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x≥\frac{9}{x-2}}\end{array}\right.$，解之即可．

解答 解：（1）因為f（xy）=f（x）+f（y），
所以，令x=y=1代入得，
f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
即f（1）的值為0；
（2）因為f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=f（3×$\frac{1}{3}$）=f（1）=0，
且f（$\frac{1}{3}$）=-1，所以，f（3）=1，
所以，f（3）+f（3）=f（9）=2，
因此，不等式f（x）-f（$\frac{1}{x-2}$）≥2可化為：
f（x）≥f（$\frac{1}{x-2}$）+f（9）=f（$\frac{9}{x-2}$），
再根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x≥\frac{9}{x-2}}\end{array}\right.$，解得，x≥1+$\sqrt{10}$，
故原不等式的解集為：[1+$\sqrt{10}$，+∞）．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值，以及運用抽象函數(shù)的單調(diào)性和特殊值解不等式，涉及一元二次不等式的解法，屬于中檔題．