Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$（a，b為常數(shù)），且方程f（x）-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x₁=3，x₂=4．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）若$\frac{1}{f（x）}$+k-1＞0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式得方程，把方程的解代入得關(guān)于a，b的方程組，求出a，b即可．
（2）$\frac{1}{f（x）}$+k-1＞0恒成立，則k＞1+$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，求出右邊的最大值，即可求k的范圍．

解答 解：（1）依已知條件可知方程f（x）-x+12=0即為$\frac{{x}^{2}}{ax+b}$-x+12=0
∵x₁=3，x₂=4是上述方程的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{3a+b}-3+12=0}\\{\frac{16}{a+b}-4+12=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=2，
則函數(shù)的解析式為f（x）=-$\frac{{x}^{2}}{x-2}$；
（2）$\frac{1}{f（x）}$+k-1＞0恒成立，則k＞1+$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
∵1+$\frac{x-2}{{x}^{2}}$=-2（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$≤$\frac{9}{8}$，
∴k＞$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是一種常用的重要的方法，是基本技能，分離參數(shù)求最值是解決恒成立問題的常用方法．