Question

9．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）若數(shù)列{a_n}的前三項依次為a-1，a+1，a+4，求通項公式a_n；
（2）若S_m、S_m+2、S_m+1成等差數(shù)列，求證：a_m、a_m+2、a_m+1成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由已知a-1，a+1，a+4為等比數(shù)列{a_n}的前三項，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出此數(shù)列的前三項，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比q的值，由首項與公比寫出此等比數(shù)列的通項公式即可；
（2）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q．討論公比為1，不為1，由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得q的值，再由等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項，即可得證．

解答 解：（1）∵a-1，a+1，a+4為等比數(shù)列{a_n}的前三項，
∴（a+1）²=（a-1）（a+4），
解得：a=5，
∴等比數(shù)列{a_n}的前三項依次為4，6，9，
可得公比q=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，首項為4，
則a_n=4•（$\frac{3}{2}$）^n-1．
（2）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q．
若S_m、S_m+2、S_m+1成等差數(shù)列，即有2S_m+2=S_m+S_m+1．
當(dāng)q=1時，有S_m=ma₁，S_m+2=（m+2）a₁，S_m+1=（m+1）a₁，
顯然：2S_m+2≠S_m+S_m+1．
故q≠1，S_m=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{m}）}{1-q}$，S_m+1=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{m+1}）}{1-q}$，S_m+2=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{m+2}）}{1-q}$，
由2S_m+2=S_m+S_m+1，化簡可得2q^m+2=q^m+q^m+1，
即為2q²=1+q，解得q=-$\frac{1}{2}$，
則2a_m+2-（a_m+a_m+1）=2a₁•q^m+1-（a₁•q^m-1+a₁•q^m）=a₁•q^m-1（2q²-1-q）=0，
即為2a_m+2=a_m+a_m+1
故a_m、a_m+2、a_m+1成等差數(shù)列．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．