Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線。

(1)求曲線的方程；

(2)若，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線分別交于點(diǎn)，其中，求證：直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)。(其坐標(biāo)與無(wú)關(guān))

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由橢圓的定義可直接求出求曲線的方程；（2）先求出直線的方程，再分別與橢圓聯(lián)立方程組，求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)并寫(xiě)出直線的方程

（1）∵在線段的垂直平分線上，∴

∴

由橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓

，∴

曲線的方程為：。

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為

直線方程為：，即，

直線方程為：，即。

分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，

解得：.

當(dāng)時(shí)，直線方程為：

令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線方程為：，與軸交點(diǎn)為。

所以直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)。