Question

已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足 ．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項；（Ⅱ）求數(shù)列的通項；
（Ⅲ）若，求數(shù)列的前項和．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由，得當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足，因此所求.
（Ⅱ）由，，可得遞推公式，所以，，， ，，將上列各式兩邊累加可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式可求得（疊加消項法在求數(shù)列的通項、前項和中常常用到，其特點是根據(jù)等式兩邊結(jié)構(gòu)特征，一邊相加可消掉中間項，另一邊相加可以得到某一特殊數(shù)列或是常數(shù)）.
（Ⅲ）由題意得當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以所求，，
將兩式相減得，
從而可求得（錯位相減法是求數(shù)列前項和的常用方法，它適用于如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)各項之積構(gòu)成的）.
試題解析：（Ⅰ）∵,
∴．              2分
∴．          3分
當(dāng)時，，
∴                    4分
（Ⅱ）∵
∴，
，
，
，
以上各式相加得
．
∵ ，
∴．                     9分
（Ⅲ）由題意得
∴，
∴，
∴

=，
∴．                   13分