Question

已知函數(shù)f(x)=

2

x

-

x-m

x2-x

-

1

x-1

-1
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-2，2）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令f（x）=0，原方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為：

x2-x+2-m=0，(1) x≠0 x2-x≠0 x-1≠0

，欲原方程無實(shí)根，考察下面兩種情況：①方程（1）無實(shí)數(shù)根，②方程（1）的實(shí)數(shù)根為原方程的增根，從而得出答案；
（Ⅱ）將原方程移項(xiàng)得x²-x+2=m，先畫出y=x²-x+2和y=m的圖象，通過觀察圖象的交點(diǎn)情況，從而得出函數(shù)f（x）在（-2，2）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）=0得：

2

x

-

x-m

x2-x

-

1

x-1

-1=0，
即

x2-x+2-m

x2-x

=0，
原方程可化為：

x2-x+2-m=0，(1) x≠0 x2-x≠0 x-1≠0

要原方程無實(shí)根，有下面兩種情況：
①方程（1）無實(shí)數(shù)根，由△=（-1）²-4（2-m）＜0，得m＜

7

4

；
②方程（1）的實(shí)數(shù)根為原方程的增根，原方程無實(shí)根，而原方程的增根為x=0或x=1，
把x=0或x=1分別代入（1）得m=2．
綜上所述：{m|m＜

7

4

或m=2}
（Ⅱ）由x²-x+2-m=0得x²-x+2=m，先畫出y=x²-x+2和y=m的圖象，如圖，
觀察圖象可知，當(dāng)m=

7

4

或4≤m＜8時(shí)，兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
若函數(shù)f（x）在（-2，2）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：{m|m=

7

4

或4≤m＜8}．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)零點(diǎn)、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷、方程式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．