Question

設(shè)f（x）=（x²+ax+a）e^-x，試確定實數(shù)a的值，使f（x）的極小值為0．

Answer 1

考點：函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：令f′①（x）=0可得x₁=0，x₂=2-a，分別討論2-a 與0的大小，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出函數(shù)的極小值，從而求a的值

解答： 解：由于f（x）=（x²+ax+a）e^-x，所以f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+a）e^-x=-e^-x[x²+（a-2）x]．
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
當a=2時，f'（x）≤0恒成立，此時f（x）無極值．
所以2-a≠0．
①當2-a＞0，即a＜2時，f'（x）和f（x）2的變化情況如下表1：

x	（-∞，0）	0	（0，2-a）	2-a	（2-a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

此時應(yīng)有f（0）=0，所以a=0＜2；
②當2-a＜0，即a＞2時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表2：

x	（-∞，2-a）	2-a	（2-a，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

此時應(yīng)有f（2-a）=0，即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=0，
而e^a-2≠0，所以應(yīng)有（2-a）²+a（2-a）+a=0⇒a=4＞2．
綜上可知，當a=0或4時，f（x）的極小值為0．

點評：本題的考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值．解題中滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)的思想及轉(zhuǎn)化的思想．