Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+b，若f（-1）=-2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上的單調(diào)性；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-1）=-2得出a，b的關(guān)系，令f（x）-2x≥0恒成立可列出不等式，得出a的值，從而得出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）的圖象的開口方向和對(duì)稱軸得出單調(diào)性；
（3）利用f（x）的單調(diào)性和對(duì)稱性得出f（x）的最值即可得出f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（-1）=-a-1+b=-2，∴b=a-1．
∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f（x）≥2x．
∴f（x）-2x≥0恒成立，即x²+ax+a-1≥0恒成立，
∴△=a²-4（a-1）≤0，即（a-2）²≤0，
∴a=2，∴f（x）=x²+4x+1．
（2）f（x）的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x=-2，
∴f（x）在[-3，-2]上單調(diào)遞減，在（-2，1]上單調(diào)遞增．
（3）由（2）可知當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）取得最小值f（-2）=-3，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值f（1）=6．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，1]上的值域是[-3，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性判斷與最值計(jì)算，函數(shù)恒成立問題研究，屬于基礎(chǔ)題．