Question

2．△ABC中sin²A+3sinAcosA-1=0，A是銳角．
（1）求tan2A的值；
（2）若cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，c=$\sqrt{10}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由sin²A+3sinAcosA-1=0可得3sinA=cosA，可求得tanA=$\frac{1}{3}$，利用二倍角的正切公式可求tan2A的值；
（2）△ABC中，由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$可求得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由（1）可求得sinA與cosA的值，利用兩角和的正弦可求得sinC，又c=$\sqrt{10}$，利用正弦定理可求得a，從而可求△ABC的面積．

解答 解：（1）由條件，得3sinAcosA-cos²A=0，
∵cosA≠0，∴3sinA=cosA，
∴tanA=$\frac{1}{3}$，∴tan2A=$\frac{2tanA}{1{-tan}^{2}A}$=$\frac{3}{4}$．
 （2）由（1）知3sinA=cosA，
又sin²A+cos²A=1，A是銳角，
故sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
又∵cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B為三角形的內角，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{2}{\sqrt{5}}$•$\frac{1}{\sqrt{10}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\frac{c•sinA}{sinC}$=$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=1．

點評 本題考查三角函數的化簡求值，著重考查三角函數間的關系式及二倍角的正切與兩角和的正弦，考查運算求解能力，屬于中檔題．