Question

16．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在此拋物線上，且∠AFB=90°，弦AB的中點(diǎn)M在該拋物線準(zhǔn)線上的射影為M′，則$\frac{|MM′|}{|AB|}$的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 利用拋物線的定義、梯形的中位線定理，結(jié)合基本不等式，即可求出$\frac{|MM′|}{|AB|}$的最大值．

解答 解：$|MM'|=\frac{1}{2}（|AF|+|BF|）≤\sqrt{\frac{{|AF{|^2}+|BF{|^2}}}{2}}=\sqrt{\frac{{|AB{|^2}}}{2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}|AB|$，
∴$\frac{|MM'|}{|AB|}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴$\frac{|MM′|}{|AB|}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題給出拋物線的弦AB對焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．