Question

13．設(shè)方程x²-x-3=0的兩個根為α，β，求做一個方程，使得它的兩個根為α³，-β³．

Answer 1

分析 由題意不妨設(shè)α＞0，β＜0，且α+β=1，αβ=-3，構(gòu)造方程（x-α³）（x+β³）=0，從而化簡即可．

解答 解：∵方程x²-x-3=0的根一正一負，
∴不妨設(shè)α＞0，β＜0，且α+β=1，αβ=-3，
構(gòu)造方程（x-α³）（x+β³）=0，
即x²-（α³-β³）x-α³β³=0，
α³-β³=（α-β）（α²+β²+αβ）
=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$（（α+β）²-αβ）
=4$\sqrt{13}$，
α³β³=-27；
故方程為x²-4$\sqrt{13}$x+27=0．

點評 本題考查了方程的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用及化簡運算能力．