Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一條漸近線與x軸的夾角為30°，那么雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一的一條漸近線與x軸的夾角為30°，可得 $\frac{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用e=$\frac{c}{a}$=轉化求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$一條漸近線與x軸的夾角為30°，
∴$\frac{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了雙曲線的幾何性質，由漸近線的斜率推導雙曲線的離心率是解決本題的關鍵．