Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).證明：

（1）在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；

（2）有且僅有個零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）令，然后得到，得到的單調(diào)性和極值，從而證明在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn)；

（2）根據(jù)的正負(fù)，得到的單調(diào)性，結(jié)合，，的值，得到的圖像，從而得到的單調(diào)性，結(jié)合和的值，從而判斷出有且僅有個零點(diǎn).

（1）令，

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，.

∴在遞增，，.

故存在使得，時(shí)，時(shí)，.

綜上，在區(qū)間存在唯一極小值點(diǎn).

（2）由（1）可得

時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增.

且， .

故的大致圖象如下：

當(dāng)時(shí)，，

∴此時(shí)，單調(diào)遞增，而.

故存在，使得

故在上，的圖象如下：

綜上，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，.

∴在遞增，在遞減，在遞增，

而，，

又當(dāng)時(shí)，，恒成立.

故在上的圖象如下：

∴有且僅有個零點(diǎn).