Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在x=1時(shí)取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）1；（2）兩個(gè)

【解析】

(1) 函數(shù)在x=1時(shí)取得極值，得，解得，時(shí)，，求單調(diào)區(qū)間，驗(yàn)證在x=1時(shí)取得極值 （2），由，得減區(qū)間為，增區(qū)間為，其極小值為，，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)，，

令，得，又因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

解：(1)定義域?yàn)?/span>，，

由已知，得，解得，

當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以減區(qū)間為，增區(qū)間為，

所以函數(shù)在時(shí)取得極小值，其極小值為，符合題意，所以

(2)令，由，得

所以，，

所以減區(qū)間為，增區(qū)間為，

所以函數(shù)在時(shí)取得極小值，其極小值為，

因?yàn)?/span>，所以，，

所以，所以，

因?yàn)?/span>，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，，

令，得，又因?yàn)?/span>，所以，

所以當(dāng)時(shí)，，

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).