Question

已知數(shù)列｛b_n｝是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=100.

 

(Ⅰ)求數(shù)列｛b_n｝的通項(xiàng)b_n;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)a_n=lg(1+),記S_n是數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和，試比較S_n與lgb_n+1的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(Ⅰ)設(shè)數(shù)列｛b_n｝的公差為d，由題意得

 

解得    ∴b_n=2n-1.?

 

(Ⅱ)由b_n=2n-1,知?

S_n=lg(1+1)+lg(1+)+……+lg(1+)

=lg［(1+1)(1+)……(1+)］,?

 

lgb_n+1=lg.?

因此要比較S_n與lgb_n+1的大小，可先比較(1+1)(1+)……(1+ )與的大小.?

取n=1有(1+1)＞,?取n=2有(1+1)(1+)＞……

由此推測(cè)(1+1)(1+)……(1+)＞.①若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)

可斷定：S_n＞lgb_n+1.?

 

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.?

(i)當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立.?

(ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)，①式成立，即(1+1) (1+)……(1+)＞ .?

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+1) (1+)……(1+)＞(1+)

=(2k+2)，?

 

 ∵[(2k+2)]²-[]²==>0

 

∴(2k+2)＞=.

因而(1+1)(1+)……(1+)(1+)＞.?

這就是說①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.?

由(i)，(ii)知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.?

由此證得：S_n＞lgb_n+1.