Question

【題目】已知函數(shù)，，其中．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意的，（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，（2）

【解析】

試題分析：（1）求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(2) 對任意的，（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立等價于在定義域內有,分三種情況討論的范圍，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，分別求出的最值,從而可列出關于的不等式，從而求出的范圍，綜合三種情況所得結果可得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）解：當時，

解得或，

則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，

（2）對任意的都有成立等價于在定義域內有．

當時，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴

∵，且，．

①當且時，，(僅在且時取等號)

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴.

由，得，

又，∴不合題意．

②當時，

若，則，

若，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴. 由，得，

又，∴．

③當且時，，(僅在且時取等號)

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.

由，得，

又，∴．

綜上所述：