Question

22.橢圓的中心是原點O，它的短軸長為2,相應于焦點F（c,0）（c>0）的準線l與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）若· =0，求直線PQ的方程;

（Ⅲ）設=λ（λ>1），過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明=－λ.

Answer 1

22.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程、平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

（Ⅰ）解：由題意，可設橢圓的方程為+=1（a＞）.

由已知得

解得a=,c=2.

所以橢圓的方程為+=1,離心率e=.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A（3，0）.

設直線PQ的方程為y=k（x－3）,由方程組

得（3k²+1）x²－18k²x+27k²－6=0.

依題意Δ=12（2－3k²）＞0，得

－＜k＜.

設P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂），則

x₁+x₂=,                                                              ①

x₁x₂=.                                                             ②

由直線PQ的方程得y₁=k（x₁－3）,y₂=k（x₂－3）.于是

y₁y₂=k²（x₁－3）（x₂－3）=k²［x₁x₂－3（x₁+x₂）+9］.   ③

∵· =0,  ∴x₁x₂+y₁y₂=0.                                      ④

由①②③④得5k²=1,從而k=±∈（－,）.

所以直線PQ的方程為

x－y－3=0或x+y－3=0.

（Ⅲ）證明：=（x₁－3,y₁）,=（x₂－3,y₂）.由已知得方程組

注意λ＞1，解得x₂=.

因F（2,0），M（x₁,－y₁），故

=（x₁－2,－y₁）=（λ（x₂－3）+1,－y₁）

=（,－y₁）=－λ（,y₂）.

而=（x₂－2,y₂）=（,y₂），所以

=－λ.