Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{（x-1）^2}+2，\;\;\;x≤1\\ \frac{1}{x}+1，\;\;x＞1\;.\;\;\end{array}\right.$下列四個命題：
①f（f（1））＞f（3）；
②?x₀∈（1，+∞），$f'（{x_0}）=-\frac{1}{3}$；
③f（x）的極大值點為x=1；
④?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤1
其中正確的有①②③④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 解：函數(shù)f（x）的圖形如圖所示，
對于①，f（1）=2，f（f（1））=f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{4}{3}$，．
對于②，x＞1時，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，⇒x=$\sqrt{3}$．．
對于③，根據(jù)圖形可判斷．
對于④，由x∈（0，+∞）時，1＜f（x）≤2，可判斷

解答 解：函數(shù)f（x）的圖形如圖所示，
對于①，f（1）=2，f（f（1））=f（2）=$\frac{3}{2}$，f（3）=$\frac{4}{3}$，故①正確．
對于②，x＞1時，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，⇒x=$\sqrt{3}$．故②正確．
對于③，根據(jù)圖形可判斷③正確．
對于④，x∈（0，+∞）時，1＜f（x）≤2，
∴?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≤1正確
故答案為：①②③④

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．