Question

10．已知平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，焦點在x軸上，且短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，點A（1，$\frac{1}{2}$），求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）過點Q（0，1）的直線l交橢圓于不相同的兩點，當弦長為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得2b=2，即b=1，再由離心率公式可得a，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設P（m，n），M（x，y），運用中點坐標公式和代入法，即可得到所求軌跡方程；
（Ⅲ）設直線l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程x²+2y²=2，解得交點的坐標，由兩點的距離公式，解方程可得斜率k，進而得到直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得2b=2，即b=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²-c²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）設P（m，n），M（x，y），
則$\frac{{m}^{2}}{2}$+n²=1，
由題意可得2x=m+1，2y=n+$\frac{1}{2}$，
即為m=2x-1，n=2y-$\frac{1}{2}$，
可得線段PA中點M的軌跡方程為2（x-$\frac{1}{2}$）²+4（y-$\frac{1}{4}$）²=1；
（Ⅲ）設直線l的方程為y=kx+1，
代入橢圓方程x²+2y²=2，可得（1+2k²）x²+4kx=0，
解得x=0或x=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
即有交點為（0，1）和（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
則弦長為$\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+（1-\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{4|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得k=±1，
則直線l的方程為y=x+1或y=-x+1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查中點的軌跡方程的求法，注意運用代入法和中點坐標公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用兩點的距離公式，屬于中檔題．