Question

（05年北京卷文）(14分)

如圖, 在直三棱柱中， ，點(diǎn)為的中點(diǎn)

 (Ⅰ)求證;

(Ⅱ) 求證;

(Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值

Answer 1

解析：（I）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內(nèi)的射影為BC，∴ AC⊥BC₁；

（II）設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，∵ D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，∴ DE//AC₁，

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

（III）∵ DE//AC₁，∴ ∠CED為AC₁與B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，

∴ ，

∴ 異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值.

解法二：

∵直三棱錐底面三邊長，

兩兩垂直如圖建立坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),A(3,0,0),C₁(0,0,4),B(0,4,0),B₁(0,4,4),D(,2,0)

 (Ⅰ),

(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為E，則E(0,2,2)

   

   

(Ⅲ)

   

　　∴異面直線與所成角的余弦值為