Question

5．經過點（2，0）且與曲線$y=\frac{1}{x}$相切的直線方程為（　�。�

• A． x+4y+2=0
• B． x+4y-2=0
• C． x+y+2=0
• D． x+y-2=0

Answer 1

分析 設切點為（x₀，y₀），則y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，由于直線l經過（2，0），推出切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點x₀處的切線斜率，便可建立關于x₀的方程．求出x₀，然后求解切線方程．

解答 解：設直線l：y=k（x-1）．∵曲線$y=\frac{1}{x}$，∴y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴$y′{|}_{x={x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$
設曲線的切點（x₀，y₀）（x₀≠0），則k=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-2}$，
∴-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}}$，∵x₀≠0，∴x₀=1，∴k=-1，
故直線l的方程為：x+y-2=0．
故選：D．

點評 此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據一點坐標和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．