Question

若函數f（x）在其定義域內某一區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且對[a，b]中任意實數x₁，x₂，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數f（x）在[a，b]上是下凸函數；有以下幾個函數：
①f（x）=x²+ax+b，x∈R；
②f(x)=x+

1

x

，x∈(0，+∞)；
③f（x）=sinx，x∈[0，2π）；
④f(x)=tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)；
⑤f(x)=log

1

2

x，x∈(0，+∞)．
其中是下凸函數的是

①②⑤

．

Answer 1

分析：由已知中下凸函數的定義，我們可以判斷出下凸函數的圖象形狀，根據二次函數，對勾函數，正弦函數，正切函數，對數函數的圖象和性質，逐一比照后可得答案．

解答：解：由已知中下凸函數的定義，可得下凸函數的圖象形狀可能為：
或或
可得函數f（x）=x²+ax+b，x∈R為下凸函數
函數f(x)=x+

1

x

，x∈(0，+∞)為下凸函數
函數f（x）=sinx，x∈[π，2π）為下凸函數，函數f（x）=sinx，x∈[0，2π）不為下凸函數；
函數f(x)=tanx，x∈(0，

π

2

)為下凸函數，函數f(x)=tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)不為下凸函數
函數f(x)=log

1

2

x，x∈(0，+∞)為下凸函數
故答案為：①②⑤

點評：本題考查的知識點是正切函數的圖象，二次函數的圖象，對數函數的圖象，正弦函數的圖象，其中根據下凸函數的定義判斷出下凸函數的圖象形狀是解答本題的關鍵．