Question

17．把地球看作是半徑為R的球，A點(diǎn)位于北緯30°，東經(jīng)20°，B點(diǎn)位于北緯30°，東經(jīng)80°，求A、B兩點(diǎn)間的球面距離R•arccos$\frac{5}{8}$（結(jié)果用反三角表示）

Answer 1

分析 設(shè)北緯30°緯線(xiàn)圈所在圓的圓心為O₁，半徑為r，則r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，且△AO₁B為等邊三角形，即AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧長(zhǎng)共公式求得A、B兩點(diǎn)間的球面距離．

解答 解：設(shè)北緯30°緯線(xiàn)圈所在圓的圓心為O₁，半徑為r，則r=R•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
根據(jù)A點(diǎn)位于北緯30°，東經(jīng)20°，B點(diǎn)位于北緯30°，東經(jīng)80°，可得∠AO₁B=60°，
∴△AO₁B為等邊三角形，即AB=r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R．
△AOB中，由余弦定理可得AB²=$\frac{3}{4}$R²=R²+R²-2R²•cos∠AOB，求得cos∠AOB=$\frac{5}{8}$，
∴∠AOB=arccos$\frac{5}{8}$，∴A、B兩點(diǎn)間的球面距離 $\widehat{AB}$=R•∠AOB=R•arccos$\frac{5}{8}$，
故答案為：R•arccos$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查球面距離的求法，利用余弦定理解三角形，反三角函數(shù)、弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．