Question

8．若曲線(xiàn)y=ax²+$\frac{x}$（a，b為常數(shù)）過(guò)點(diǎn)P（2，-5），且該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x-7y+3=0垂直，則a+b的值等于-3．

Answer 1

分析 由曲線(xiàn)y=ax²+$\frac{x}$（a，b為常數(shù)）過(guò)點(diǎn)P（2，-5），且該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x-7y+3=0垂直，可得y|_x=2=-5，且y′|_x=2=-$\frac{7}{2}$，解方程可得答案．

解答 解：∵直線(xiàn)2x-7y+3=0的斜率k=$\frac{2}{7}$，
∴切線(xiàn)的斜率為-$\frac{7}{2}$，
曲線(xiàn)y=ax²+$\frac{x}$（a，b為常數(shù)）過(guò)點(diǎn)P（2，-5），且該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x-7y+3=0垂直，
∴y′=2ax-$\frac{{x}^{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+\frac{2}=-5}\\{4a-\frac{4}=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-2，
故a+b=-3，
故答案為：-3

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，其中根據(jù)已知得到y(tǒng)|_x=2=-5，且y′|_x=2=-$\frac{7}{2}$，是解答的關(guān)鍵．